Pot: Raziskovalna dejavnost | Boolove mreže

boolove mreže

Na Inštitutu Bion močno simpatiziramo s sodobnim organicizmom, znotraj katerega sodi tudi teorija kompleksnosti. Ta se ukvarja s preučevanjem kompleksnih sistemov, njihove sposobnosti samoorganizacije in samourejanja (glej Complexity Papers Online) ter drugih splošnih načel. Matematični modeli takih sistemov so dinamične Boolove mreže, ki jih je prvi preučeval priznani teoretični biolog Stuart Kauffman. Modeli so grob prikaz nekaterih življenjskih procesov in organizacijskih principov, ki vključujejo t.i. zastonjski red (matematični red, ki ne zahteva dotoka proste energije). Ta red je pravzaprav "vgrajen" v organizme.

Boolove mreže so abstraktni matematični modeli za modeliranje dinamičnih kompleksnih sistemov (sistemov z velikim številom sklopljenih spremenljivk). Takšni sistemi so npr. biološki sistemi na različnih organizacijskih nivojih (metabolične mreže, genske mreže, nevronske mreže, organizmi, ekosistemi, biosfera itd.).

Preprosta, dinamična Boolova mreža

Boolovo mrežo sestavlja določeno število (N) binarnih elementov, med njimi so naključno razporejene usmerjene povezave, ki določajo vhode na elemente. Vsakemu elementu je naključno določena Boolova (oz. logična funkcija), ki določa vrednost elementa, glede na permutacijo vrednosti njegovih vhodov. Število vhodov na element (K) se razlikuje od elementa do elementa (to je variabilni K). Element ima lahko veliko, malo, ali nič vhodov. Prvotne Boolove mreže so imele za vse elemente enako število vhodov (konstantni K). Boolove mreže z variabilnim K so pomembne za bolj realistično modeliranje sistemov.

Ko mreži določimo povezave in Boolove funkcije, naključno izberemo začetna stanja elementov in poženemo računanje mreže. Vrednosti elementov v mreži se spreminjajo sinhrono v določenih časovnih korakih, glede na predhodno stanje mreže. Mreža tako potuje skozi deterministično zaporedje diskretnih stanj. To zaporedje stanj v faznem prostoru predstavimo s krivuljo, ki se imenuje trajektorija. Fazni prostor je matematično orodje za preučevanje obnašanja dinamičnih sistemov. To je abstrakten prostor, ki ima toliko dimenzij, kolikor je spremenljivk v sistemu. Točka v tem prostoru predstavlja stanje sistema, ki je enolično določeno z vrednostmi vseh spremenljivk. Vsa možna stanja, ki jih lahko zavzame sistem, tvorijo cel fazni prostor. Vsako stanje leži na eni od trajektorij. Trajektorije se stekajo v atraktorje. Atraktorji so končna stanja mreže, ki so lahko točkasta (kar pomeni, da mreža obstane v tem stanju), ali periodična (mreža kroži po periodičnem zaporedju stanj - ciklu). Vse trajektorije, ki se stekajo v isti atraktor tvorijo bazen atrakcije. Zunanja motnja (perturbacija), ki obrne vrednost nekega elementa, povzroči, da sistem preskoči na drugo trajektorijo, ki se lahko steka v isti atraktor kot prva, ali v kak drug atraktor. Atraktorji določajo dinamiko mreže, ki je lahko urejena ali neurejena. Točkasti, kratki in srednje dolgi ciklični atraktorji pomenijo urejeno dinamiko. Zelo dolgi ciklični atraktorji pomenijo nered, saj v realnem času ne zaznamo periodičnih vzorcev. Stopnjo urejenosti lahko ocenimo iz števila in dolžine atraktorjev, njihove podobnosti, velikosti bazena atrakcije, deleža zamrznjenih elementov, ...

(Glej tudi Model Boolovih mrež).

Primer periodičnega atraktorja

Primer, kjer se je dinamika mreže s 100 elementi ustalila v
periodičnem atraktorju s štirimi stanji. Modri elementi so zamrznjeni
na vrednost 0, vijolični na 1, medtem ko so rumeni (vrednost 0) in rdeči (vrednost 1) aktivni

NAŠE RAZISKAVE

Temelji (variabilni K)

Neodvisno od podobne raziskave [J. J. Fox and C. C. Hill, "From topology to dynamics in biochemical networks," Chaos 11, 809-815 (2001)] smo predstavili variabilni K model in najprej analizirali stopnjo urejenosti in izvor reda, nato pa še perturbacije atraktorjev. Preučevali smo mreže s povprečnim K=2 in za razliko od modela Fox-a in Hill-a smo v mrežah dovolili tudi elemente brez vhodov (imenovani tudi viri ali konstitutivni elementi) in elemente brez izhodov (imenovani tudi ponori). Distribucija vhodov (povezav), ki smo jo uporabili, je bila modificirana binomska. Zanimalo nas je, kako urejene so variabilne K mreže, v primerjavi s konstantnimi K mrežami in od kje izvira ta red. Analizirali smo tudi vpliv konstitutivnih elementov na dinamiko mreže. Domnevali smo, da so variabilne K mreže bolj urejene kot konstantne K mreže, ker že sama distribucija ustvari zamrznjena območja (z majhnim številom vhodov), ki zagotavljajo dodaten red. Fox in Hill sta neodvisno pokazala vpliv različnih K distribucij na urejenost in tako podprla našo domnevo. Določila sta tudi spodnjo mejo za velikost zamrznjene komponente, ki je posledica Boolovih funkcij in širjenja njihovega vpliva po mreži.

V naši raziskavi smo določili celotno efektivno K distribucijo (premik distribucije, ko upoštevamo samo efektivne vhode) in temeljito preučili izvore urejenosti. Odkrili smo dva: eden izvira iz distribucije vhodov (povezav) in kanaliziranja Boolovih funkcij ter širjenje njihovega vpliva po mreži, drugi pa iz kompleksne dinamike mreže. Domnevali smo tudi, da konstitutivni elementi precej vplivajo na dinamiko mreže. To se je izkazalo za resnično, saj naraščajoče število konstitutivnih elementov močno poveča dinamično raznolikost sistema (ta se nanaša na število in podobnost atraktorjev). Večji del naše raziskave temelji na numeričnih simulacijah, razen tistega dela določanja efektivne K distribucije, ki se nanaša na kanaliziranje Boolovih funkcij in širjenje njihovega vpliva po mreži, ta je bil določen analitično. Naš prispevek sta tudi dve originalni metodi določanja podobnosti in sorodnosti atraktorjev. Za več podrobnosti poglej [M. Škarja, B. Remic, I. Jerman: Boolean networks with variable number of inputs (K), poslano v Chaos, 2003. [PDF, 196 kB, v ang.]].

Perturbacije atraktorjev

Nadalje nas je zanimalo, kolikšno homeostazo imajo atraktorji, zato smo analizirali perturbacije atraktorjev. Perturbacija pomeni, da obrnemo vrednost enega ali več elementov (iz 0 na 1, ali obratno). Ta motnja (perturbacija) vrže mrežo ven iz atraktorja na eno od trajektorij, ki se lahko steka v isti ali kak drug atraktor. Kako daleč perturbacija vrže mrežo, je odvisno od števila perturbiranih elementov (več jih je, dlje). Pričakovali smo, da se pri enem perturbiranem elementu mreža večinoma vrne v isti atraktor in da se ta homeostaza z naraščajočim številom perturbiranih elementov zmanjšuje (mreža večkrat pade v druge atraktorje). Pričakovali smo tudi, da pri perturbacijah konstitutivnih elementov mreža večkrat pade v druge atraktorje, ker imajo konstitutivni elementi močnejši vpliv na dinamiko mreže.

Rezultati potrjujejo naša pričakovanja, saj kažejo, da je homeostaza v mrežah z majhnim številom perturbiranih elementov v povprečju precej visoka in upada z naraščajočim številom perturbiranih elementov. Ko je perturbiran samo en element, se mreža večinoma vrne v isti atraktor, ko pa število perturbiranih elementov narašča, začne bolj pogosto padati v druge atraktorje. Pri perturbaciji konstitutivnih elementov je homeostaza izredno majhna, saj mreža večinoma pade v druge atraktorje. Različni atraktorji imajo zelo različno homeostazo, ki je odvisna tudi od velikosti njihovega bazena (atraktorji z velikimi bazeni imajo večjo homeostazo, kot atraktorji z manjšimi bazeni). Perturbacije atraktorjev so se izkazale za zelo učinkovito metodo iskanja novih atraktorjev, ki ni odkrila metoda naključnih začetnih stanj. Z nadaljnjimi perturbacijami novih atraktorjev so bili ponovno odkriti novi atraktorji (tako smo našli več redov novih atraktorjev!). Ti redi novih atraktorjev se zdijo tesno povezani, saj so bili novi atraktorji najdeni samo iz prej odkritih (z naključnim iskanjem jih težko najdemo, najverjetneje zato, ker imajo majhne, nepravilno oblikovane ali razdrobljene bazene). V genetski interpretaciji modela elementi brez vhodov predstavljajo konstitutivne gene ali zunanje dejavnike, ki vplivajo na ekspresijo genov in njihova perturbacija večinoma preusmeri mrežo v drug atraktor, ki predstavlja drug vzorec ekspresije genov. Mrežo lahko preusmerimo v drug atraktor tudi s perturbacijo večjega števila elementov (ki niso konstitutivni). Tako preusmerjanje se verjetno dogaja med procesom celične diferenciacije ali med določenimi patološkimi motnjami normalnega vzorca ekspresije genov (karcinogeneza). Za več podrobnosti glej (B. Remic, M. Škarja, I. Jerman: High dynamic order in Boolean networks with variable number of connections, in Proceedings of the 5th International Multi-Conference Information Society - Cognitive Sciences, Ljubljana, Slovenia, 2002. [PDF, 542 kB, v ang.], B. Remic, M. Škarja, I. Jerman: Perturbation stability in variable k Boolean nets, in Proceedings of the 6th International Multi-Conference Information Society - Cognitive Sciences, Ljubljana, Slovenia, 2003. [v ang.] Predstavitev s konference [PDF, 884 kB, v ang.])

S perturbacijami atraktorjev smo našli nove atraktorje, ki smo jih nadalje perturbirali in pogosto odkrili nekaj novih atraktorjev. Na ta način smo našli v mrežah tudi do 6 redov novih atraktorjev. V perturbacijskih tabelah mrež smo izračunali perturbacijsko recipročnost atraktorjev (ta pove koliko krat m-ti atraktor pade v n-tega in obratno) in jih glede na stopnjo recipročnosti pobarvali. Popolnoma recipročni pari so rdeči, nepopolno recipročni pari so v šibkejših rdečih in vijoličnih odtenkih (odvisno od stopnje recipročnosti), nerecipročni pa v modrih na eni strani diagonale in zelenih na drugi. Diagonala v perturbacijski tabeli je obarvana rumeno in na njej so relativne frekvence vračanja atraktorja samega vase (ob perturbaciji).

Iz barvnih vzorcev v tabeli lahko razberemo kakšna je struktura faznega prostora mreže in kakšni odnosi vladajo med atraktorji. Najbolj urejeni vzorci so nastali pri perturbacijah brezvhodnih elementov. Spodaj je nekaj primerov perturbacijskih tabel, obarvanih glede na perturbacijsko recipročnost atraktorjev.

Matematični zakoni urejenosti v kompleksnih sistemih

Model ne vključuje fizikalnih zakonov, ampak matematične, zato urejenosti ne moremo pripisovati termodinamskim tokovom, ki bi poganjali samoorganizacijo sistema. Urejenost izvira izključno iz matematično definiranih interakcij med elementi. To kaže, da neravnotežna termodinamika in drugi fizikalni zakoni niso edini vir reda v naravi. Verjetno enako pomembni so matematični zakoni. Poleg fizikalno kemijskih ima življenje po vsej verjetnosti tudi pomembne matematične temelje!

Genetska interpretacija boolovih mrež

Naš model smo interpretirali kot genetsko mrežo, vendar ga je z manjšimi modifikacijami možno interpretirati tudi kot metabolično, nevronsko ali ekološko mrežo. V našem primeru so perturbacije notranje ali zunanje spremembe, ki vplivajo na ekspresijo genov.

• elementi brez vhodov ( K_i = 0, K_o >= 1) (tudi "viri" ali "konstitutivni" elementi)
• povezani elementi ( K_i >= 1, K_o >= 1)
• elementi brez izhodov ( K_i >= 1, K_o = 0) (tudi "ponori")
• nepovezani elementi ( K_i = 0, K_o = 0)

Elementi brez vhodov imajo močan vpliv na dinamiko mreže, mreža pa nanje nima povratnega vpliva. Predstavljajo konstitutivne gene ali zunanje dejavnike, ki regulirajo ekspresijo inducibilnih genov. Njihove vrednosti se med računanjem mreže ne spreminjajo (začetne vrednosti), razen, če tak element perturbiramo.

Povezani elementi preko izhodov vplivajo na dinamiko mreže in mreža vpliva nazaj nanje preko njihovih vhodov. Predstavljajo gene, ki jih inducirajo drugi geni in ki nadalje inducirajo druge gene. Možni so tudi regulatorni samo-vhodi (nazaj nase).

Elementi brez izhodov nimajo neposrednega vpliva na dinamiko mreže, imajo pa posreden vpliv, saj zmanjšujejo efektivno število povezav in s tem povečujejo urejenost. Predstavljajo inducibilne gene, ki ne inducirajo nobenih drugih genov.

(Glej tudi genske mreže)

Primer genske mreže

Ostale naše reference

B. Remic: Boolove mreže kot modeli genetskih in drugih bioloških sistemov, Magistrsko delo, Univerza v Ljubljani, Biotehniška fakulteta, Oddelek za biologijo, 2004. [PDF, 103 kB, v slo.]

B. Remic, M. Škarja, I. Jerman: Systemic biology, in Proceedings of the 7th International Multi-Conference Information Society - Cognitive Sciences, Ljubljana, Slovenia, 2004, v tisku. [PDF, 236 kB, v ang.]

Nazaj